Algèbre linéaire et bilinéaire by Bernard Le Stum

By Bernard Le Stum

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Lexique sélectif de collocations des médias d’aujourd’hui: Français/anglais

Ce lexique sélectif s'adresse à tous les étudiants de Bts, Iut et sessions préparatoires aux concours des écoles de trade ou d'ingénieurs qui sont confrontés aux exercices de traductions d'expressions toutes faites abondamment utilisés dans les médias. Cet ouvrage actualisé leur permettra donc de se familiariser avec les traductions en anglais de ces "duos" de mots et autres institutions systématiques que le langage médiatique nous renvoie régulièrement, en passant par quelques locutions idiomatiques.

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N’importe quel ϕ ∈ t E s’écrit alors (de manière unique) ϕ = ϕ1 + ϕ2 avec ϕ1 = 0 sur F1 et ϕ2 = 0 sur E2 + G, et on a en fait ϕ2 ∈ ◦ E2 . Si on suppose que ϕ ∈ ◦ (E1 ∩ E2 ), on aura aussi ϕ1 ∈ ◦ E1 . 2 Si E est un espace vectoriel, l’application F −→ ◦ F {sous-espaces vectoriels de E} →{sous-espaces vectoriels de t E} renverse l’ordre et échange somme et intersection. Chapitre 3. Somme directe, base 58 Démonstration. 2. 3 Si u : E → F est une application linéaire, alors im t u = ◦ ker u. Démonstration.

On vérifie immédiatement qu’on obtient ainsi un espace vectoriel, que π est linéaire et que ker π = F (exercice). Il faut tout de même s’assurer que les lois sont bien définies. Montrons le pour la seconde, l’argument étant le même dans les deux cas (exercice). On suppose donc que x1 + F = x2 + F et on doit montrer que ax1 + F = ax2 + F. 1, il suffit de remarquer que si x2 − x1 ∈ F, alors ax2 − ax1 = a(x2 − x1 ) ∈ F. Remarque 1. Nous avons donc 0E/F = F. 2. Cette proposition montre que tout sous-espace vectoriel est le noyau d’une application linéaire.

5 Montrer qu’on peut avoir E = E1 + E2 + E3 , ainsi que E1 ∩ E2 = E1 ∩ E3 = E2 ∩ E3 = {0}, bien que E E1 ⊕ E2 ⊕ E3 . 7 1. Montrer que l’application de transposition A → tA est une symétrie vectorielle sur Mn (K). 2. 7 Mn (K) SMn (K) ⊕ AMn (K). 8 Soient F, P et I les ensembles de toutes les fonctions R → R, des fonctions paires et des fonctions impaires, respectivement. Montrer que P et I sont des sous-espaces vectoriels de F et que F P ⊕ I en exhibant une symétrie de F. 9 Appliquer la théorie des symétries vectorielles à la conjugaison complexe σ sur C vu comme espace vectoriel sur R.

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